1. 产生原因¶
离散的采样无法捕捉连续几何变化 (不够稠密).
可以看到, 对频率较低的信号进行离散采样可以大致反应信号的形状, 但随着频率增加, 到 \(f_5\) 离散信号和连续信号就很不一样了. 我们可以发现离散信号是以一个不同于连续信号的频率在振荡，也即可以理解为出现了摩尔纹.
2. 信号分析¶
2.1 傅里叶变换¶
假设我们有一个周期为 \(T\) (频率为 \(\frac{1}{T}\) )的周期函数, 比如方波函数，我们可以使用一系列的频率为 \(\frac{1}{T}\) 整倍数的正弦和余弦函数（统称为简谐函数）加和近似，这个过程称为周期函数的傅里叶展开.
从线性代数的视角看, 傅里叶变换相当于做了一组基变换.
首先, 我们引入 \(\delta\) 函数.
显然 \(\delta\) 函数有很好的平移性质, \(\delta(x-t)\) 就是值集中在 \(x=t\) 处的函数.
在原本的时域空间下, 我们可以将信号理解成对每一个时间点 \(t=t_0\) 的采样, 这样就可以将 \(f(x)\) 用一组时域基表示:
$$
f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(x-t)dt
$$
相应的基是 \(\delta(x-t),t\in \mathbb{R}\), 对应的组合系数是 \(f(t)\)
频率基 \(\{e^{2\pi i\omega x}\}_{\omega \in \mathbb{R}}\) 是一组广义正交基, 在其上的系数就是直接与其做内积, 即上面的 \(F(\omega)\).
Note
注: 函数空间的内积定义为:
$$
(f,g) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\overline{g(x)}\mathrm{d}x
$$
特别地, 如果 \(f(x)\) 是周期函数, \(f(x)\) 可以用可数个函数线性表出, 这也被称为傅里叶级数:
Warning
上面的过程可能有一些不严格的数学, 具体严格分析需要深入学习泛函等知识
2.2 采样理论¶
利用傅里叶的卷积定理可以证明, 对一个连续函数 \(f(x)\) 以 \(f_s\) 的频率采样, 最终得到的离散函数的频谱是把 \(f(x)\) 的频谱 \(F(\omega)\) 在每隔 \(f_s\) 的地方复制一份.
因此, 记函数最大频率为 \(f_0\) , 只要 \(f_s>2f_0\) 就可以恢复原信号. 反之则会发生频谱的交叠, 也就是走样:
频谱的共轭对称性
利用傅里叶变换计算 \(F(\omega), F(-\omega), \overline{F(\omega)}\) 可知:
$$
F(-\omega)=\overline{F(\omega)}
$$
3. 反走样: super-sampling¶
两种策略:
- 先做 low-pass filtering , 再超采样
- 先超采样, 再做 low-pass filtering
